今日の天気も数学日和！
日数教夏の大会
大会で吉田の発表をみた感想，意見，質問等を書ける場所を作りました．
- 中学校部会 数と式：中・高・大学とつながる教材の研究
- 高等学校部会 数学B ：生徒の活動を生み出す分数漸化式の指導案
- 高等学校部会 基礎・自由研究：数学の面白さが分かる発展的な教材の研究<XII>
- 高専・大学部会:：樹形図を使った漸化式の解法
いろいろな問題
授業で生徒と考えた問題（自作，その他）や，授業ではなく生徒と研究した問題を載せていきます．
授業で使った問題
実際に授業（筑波大学附属駒場中高，私立武蔵高校，武蔵大学経済学部等）で生徒や学生と考えた問題を紹介します．
三角形は全部で何種類？ （筑駒の高２に出した問題）
【問】 円を12等分した点をそれぞれ\P_1\，P2，⋯，P12\ とする．このとき次の問に答え よ．
- P1，P2，⋯，P12 bから３点を選んでできる三角形のうち，異なる三角形（合同な三角形は裏返し合同も含めて同じ三角形とする）は全部でいくつあるか．
- 1の問題を一般化する．n n 等分ならどうなるか．
＜この問題について＞
入試問題などには３点を選んでできる三角形のうち正三角形や直角三角形の個数を求めるものがある．（例えば98年の九州大学）そのような問題を解き終えたあと，「この問題を発展や拡張した問題を考えよう」と出した問題． □
偶然？ 必然？ 組合せを使ってΣの公式を導こう！ （筑駒の高２に出した問題）
【問】 次の問に答えよ．
- 自然数１からnのまでの和を求めよ．
- 異なn+1のものから２個選ぶ場合の数を求めよ．
- １．２．の結果が同じことは偶然？ 必然？
- 異なる$ｎ$こからr個選ぶ場合の数は簡単に求めることができる．
1. 2.の結果が同じことが必然なら，その考え方を拡張して，平方和，立方和の求めよ．
＜この問題について＞
２乗和の求め方を天下り的に教えるのではなく，生徒が考え出せる教材を作れないか？ しかも，生徒が考え出した方法が，３乗和，４乗和，n n 乗和に応用できる教材！ □
全部でいくつ？ （筑駒の高２，武蔵高校の高２に出した問題）
【問】 次の問に答えよ．
- 同一直線上にない３点がある．この３点を頂点とする平行四辺形は全部でいくつできるか？
- 同一平面上にない４点がある．この４点を頂点とする平行六面体は全部でいくつできるか？
- この問題を拡張すると？
＜この問題について＞
最初の３点の問題は平面ベクトルや図形と方程式に出てくる問題です．それを拡張してみたのが問題２です．一部の生徒にとっては「はまってしまう問題」のようで，力作のレポートがでてきました． □
課題として出したり，生徒と授業外で共同研究した問題．
授業で生徒に研究課題として出した問題や，授業外で生徒と共同研究した問題です．
正ｎ角形の方程式（筑駒59期 大石君と共同研究した問題）
【問】次の問に答えよ．
- 方程式 |x|+|y|=1 を図示せよ．
- 1. の結果から方程式は正方形の方程式である．では正ｎ角形の方程式は存在するか？
＜この問題について＞
方程式|x|+|y|+1を図示させる問題は問題集によくあります．がよく考えてみればこの式は正方形の方程式になっています．そこで高校２年生の研究課題として「正３角形，正５角形，⋯⋯，正n 角形の方程式はあるか？」を出しました．この問題に興味を持ったのが当時高校１年生だった大石君です．そこで授業外で共同研究することにしました． □
領域を等式で表す． （上の問題を研究しているとき，大石君が考えついたこと！）
【問】 円の周と内部を不等式を使わないで１つの等式を使って表せ．
＜この問題について＞
大石君のヒントを使い私が作った三角形の方程式が偶然三角形の内部も表していました．そこで正n角形の方程式についての研究が終わったあと，大石君が領域を等式で表す方法を統一的に考えてくれました．それを聞いた私の感想「大石！ 領域を表すのに不等式はいらないんだ !!」 □
\[b\]